【УМК «Человек»】Математика, 8 класс, 1-й семестр: Перекрытие фигур и их свойства: Введение в равные треугольники

Обратите внимание на стальную ферменную конструкцию моста Нанкина через Янцзы. Вы увидите бесчисленное множество треугольных элементов, соединённых друг с другом. Поскольку эти треугольникиравныисоответствующие стороны равныпри действии внешних нагрузок сохраняют чрезвычайную геометрическую устойчивость. Эта характеристика «полного совпадения» является не только основой инженерной практики, но и душой геометрической логики.

Суть равных треугольников: совпадение

Когда мы перемещаем одну фигуру методами переноса, отражения или поворота так, чтобы она полностью совпала с другой, мы осуществляем переход от реального инженерного объекта к геометрической модели понятия «равенство».

Равные фигуры (Congruent figures)— две фигуры, которые могут быть полностью совмещены.
Равные треугольники (Congruent triangles)— два треугольника, которые могут быть полностью совмещены.

При совмещениисовмещённые вершиныназываются соответствующими вершинами,совмещённые стороныназываются соответствующими сторонами,совмещённые углыназываются соответствующими углами.

Символы и обозначения

Равенство обозначается символом «$\cong$», произносится как «равно».

Обратите внимание: При записи равенства двух треугольников обычно указываютбуквы, обозначающие соответствующие вершины, в соответствующих позициях。例如：$\triangle ABC \cong \triangle DBC$ 表示 $A$ 与 $D$ 对应，$B$ 与 $B$ 对应，$C$ 与 $C$ 对应。

Основное свойство

соответствующие стороны равных треугольниковсоответствующие стороны равнысоответствующие углы равных треугольниковравны.

🎯 Советы по определению

В сложных фигурах обратите внимание на «общие стороны» (например, $AD$ — сторона как $\triangle ABD$, так и $\triangle ACD$) или «общие углы». Эти элементы являются ключевыми подсказками для установления соответствия равных фигур.

ВОПРОС 1

Какое правило должно соблюдаться при записи отношения равенства $\triangle ABC \cong \triangle DEF$?

Буквы должны располагаться в алфавитном порядке

Буквы соответствующих вершин должны быть записаны в соответствующих позициях

Сначала записать треугольник с большей площадью

Нет специальных требований, можно записывать произвольно

ВОПРОС 2

Как показано на рисунке 12.1-2 (2), $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$ симметричны относительно прямой $BC$. Какое из следующих утверждений о соответствующих элементах неверно?

$AB$ и $DB$ — соответствующие стороны

$BC$ — общая сторона и также соответствующая сторона

$\angle A$ и $\angle D$ — соответствующие углы

$AC$ и $BC$ — соответствующие стороны

ВОПРОС 3

Известно, что $\triangle OCA \cong \triangle OBD$, точки $C$ и $B$, $A$ и $D$ — соответствующие вершины. Какое из следующих утверждений верно?

$OC = OB, OA = OD, AC = BD$

$OC = OD, OA = OB, AC = BD$

$OA = AC, OB = BD$

$\angle COA = \angle DOB = 90^\circ$

ВОПРОС 4

Как показано на рисунке, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$, $AB$ и $CD$, $BC$ и $DA$ — соответствующие стороны. Какой угол соответствует $\angle BAC$?

$\angle CAD$

$\angle DCA$

$\angle D$

$\angle B$

ВОПРОС 5

На рисунке показаны два равных треугольника. У первого треугольника углы составляют $54^\circ$ и $60^\circ$, стороны — $a, b, c$. У второго треугольника известны стороны $b$ и $c$. Чему равен угол $\angle 1$ между этими сторонами?

$54^\circ$

$60^\circ$

$66^\circ$

$114^\circ$

ВОПРОС 6

$\triangle EFG \cong \triangle NMH$, $\angle F = \angle M$. Известно: $EF=2.1$ см, $EH=1.1$ см, $NH=3.3$ см. Найдите длину отрезка $NM$.

$1.1$ см

$2.1$ см

$3.3$ см

$2.2$ см

ВОПРОС 7

Продолжение предыдущего вопроса. Найдите длину отрезка $HG$.

$1.1$ см

$2.2$ см

$3.3$ см

$4.4$ см

ВОПРОС 8

$\triangle ABC \cong \triangle DEC$, $CA$ и $CD$, $CB$ и $CE$ — соответствующие стороны. Какова связь между $\angle ACD$ и $\angle BCE$?

дополнительные

равны

$\angle ACD = 2\angle BCE$

нет обязательной связи

ВОПРОС 9

$\triangle AEC \cong \triangle ADB$, точки $E$ и $D$ — соответствующие вершины. Если $\angle A = 50^\circ$, $\angle ABD = 39^\circ$, найдите величину $\angle AEC$.

$91^\circ$

$39^\circ$

$50^\circ$

$100^\circ$

ВОПРОС 10

«Равенство» встречается повсюду в жизни. Какая из следующих пар объектов наиболее соответствует определению «равных фигур»?

Две марки одного и того же достоинства, напечатанные на одном и том же бланке

Один большой кот и один маленький кот

Два чертежа, полученных на ксероксе, с разными масштабами

Два круга, начерченных циркулем с разными радиусами

✨ Ключевые моменты

Форма и размердва одинаковые,полностью совпадаютследуют за тенью.соответствующие вершинырасположены аккуратно,знак равенствазапомните!

💡 Порядок букв имеет значение

При записи равенства обязательно соответствуйте вершинам буквами. Например, $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ означает, что $A$ соответствует $D$, $B$ — $F$, $C$ — $E$. Иначе выводы о сторонах и углах будут ошибочными.

💡 Используйте общие элементы

В сложных перекрывающихся фигурах общие стороны (например, общая сторона двух треугольников) и общие углы являются самыми скрытыми и важнейшими условиями для установления равенства.

💡 Инвариантность при преобразованиях равенства

При переносе, отражении и повороте форма и размер фигуры не изменяются, меняется только её положение. Две фигуры до и после таких преобразований всегда являются равными.

💡 Логика соответствия

通常：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角。

💡 Применение свойств

Запомните, что «соответствующие стороны равны, соответствующие углы равны» — мощный инструмент для доказательства равенства отрезков или углов. Когда вам нужно доказать равенство двух отрезков, сначала проверьте, принадлежат ли они двум равным треугольникам.